Il Teorema di de l’Hôpital

Introduzione storica e motivazione

Il teorema di de l’Hôpital, uno dei risultati fondamentali dell’analisi matematica, deve il suo nome al matematico francese Guillaume François Antoine, Marchese de l’Hôpital (1661-1704), sebbene la sua paternità sia in realtà attribuibile al matematico svizzero Johann Bernoulli (1667-1748). La storia di questo teorema è tanto affascinante quanto controversa e rappresenta un esempio paradigmatico delle complesse dinamiche che caratterizzavano il mondo matematico del XVII e XVIII secolo.

Il Marchese de l’Hôpital, pur essendo un matematico di talento e uno dei primi sostenitori del calcolo infinitesimale sviluppato da Newton e Leibniz, non fu l’ideatore originale del teorema che porta il suo nome. La verità storica, emersa solo nel XIX secolo grazie alla scoperta della corrispondenza tra i due matematici, rivela che Johann Bernoulli aveva sviluppato questo risultato intorno al 1694 durante le lezioni private che teneva al Marchese. De l’Hôpital, appassionato collezionista di risultati matematici e desideroso di contribuire alla diffusione del nuovo calcolo, aveva stipulato con Bernoulli un accordo finanziario piuttosto inusuale: in cambio di un generoso compenso annuale, Bernoulli si impegnava a comunicare a de l’Hôpital le sue scoperte matematiche, concedendogli il diritto di utilizzarle come meglio credeva. Fu così che nel 1696, quando de l’Hôpital pubblicò il suo trattato “Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes” (Analisi degli infinitamente piccoli per la comprensione delle linee curve), il primo testo sistematico sul calcolo differenziale scritto in forma di manuale, incluse questo teorema senza attribuirne esplicitamente la paternità a Bernoulli.

Questo teorema rappresenta uno strumento di eccezionale potenza nel calcolo dei limiti, particolarmente quando ci si trova di fronte alle cosiddette forme indeterminate. L’importanza di questo risultato non può essere sottovalutata: esso costituisce un ponte fondamentale tra la teoria delle derivate e il calcolo dei limiti, mostrando come la conoscenza del comportamento locale delle derivate possa fornire informazioni globali sul comportamento delle funzioni.

Nel calcolo differenziale e integrale, capita frequentemente di dover determinare il limite di un rapporto di funzioni in situazioni in cui entrambe le funzioni tendono a zero o entrambe tendono all’infinito. In questi casi, le normali regole algebriche sui limiti non forniscono informazioni sufficienti per determinare il valore del limite cercato: ci troviamo di fronte a una forma indeterminata. Il teorema di de l’Hôpital fornisce un metodo sistematico per affrontare e risolvere queste situazioni, permettendo di trasformare il problema originale in uno (si spera) più semplice attraverso l’uso delle derivate. Questo approccio, apparentemente semplice, nasconde in realtà una profonda connessione tra diverse aree dell’analisi matematica e trova applicazioni in campi che spaziano dalla fisica alla teoria della probabilità, dall’ingegneria all’economia matematica.

Le forme indeterminate: analisi approfondita

Prima di enunciare formalmente il teorema, è opportuno classificare e comprendere in profondità le forme indeterminate che possono presentarsi nel calcolo dei limiti. Questa comprensione non è meramente tecnica, ma rivela aspetti fondamentali della natura del limite come concetto matematico.

Le forme indeterminate più comuni e fondamentali sono:

1. Forma $\frac{0}{0}$

Questa forma si presenta quando sia il numeratore che il denominatore di un rapporto tendono entrambi a zero. La ragione per cui questa situazione è “indeterminata” può essere compresa attraverso alcuni esempi illuminanti.

Consideriamo i seguenti limiti, tutti della forma $\frac{0}{0}$:

Tutti questi limiti hanno la forma $\frac{0}{0}$, ma i loro valori sono radicalmente diversi: il primo vale 1, il secondo vale 2, il terzo vale 0, il quarto è infinito. Questo dimostra che dalla sola informazione “numeratore e denominatore tendono entrambi a zero” non possiamo dedurre alcunché sul valore del limite. La situazione dipende crucialmente dalla “velocità” con cui numeratore e denominatore si avvicinano a zero, e questa velocità è precisamente ciò che le derivate misurano.

Dal punto di vista intuitivo, quando abbiamo $\frac{0}{0}$, stiamo cercando di dividere “qualcosa di infinitamente piccolo” per “qualcosa di infinitamente piccolo”, e il risultato dipende da quale dei due si sta riducendo più rapidamente.

2. Forma $\frac{\infty}{\infty}$

Questa forma si presenta quando sia il numeratore che il denominatore tendono entrambi all’infinito (dello stesso segno o di segno opposto). Anche in questo caso, esempi semplici mostrano l’indeterminatezza:

Tutti questi limiti hanno la forma $\frac{\infty}{\infty}$, ma ancora una volta otteniamo risultati completamente diversi. La questione fondamentale è: quale infinito “cresce più velocemente”? Questo è un concetto che verrà approfondito nella sezione sulla gerarchia degli infiniti.

3. Altre forme indeterminate

Esistono anche altre forme indeterminate, quali $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$, che tuttavia possono essere ricondotte alle forme $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ mediante opportune trasformazioni algebriche.

Forma $0 \cdot \infty$: Se moltiplichiamo “qualcosa di infinitamente piccolo” per “qualcosa di infinitamente grande”, il risultato dipende da quale dei due fattori “domina”. Ad esempio:

Forma $\infty - \infty$: Sottrarre un infinito da un altro infinito è chiaramente indeterminato. Basti pensare a:

Forme esponenziali: Le forme $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$ sono particolarmente sottili. Si consideri ad esempio:

Ma anche:

Mentre:

È fondamentale comprendere che queste espressioni sono dette “indeterminate” non perché il limite non esista, ma perché dalla sola informazione sui limiti di numeratore e denominatore (o base ed esponente) non è possibile dedurre automaticamente il valore del limite del rapporto (o della potenza). Il limite potrebbe esistere ed essere finito, potrebbe essere infinito, oppure potrebbe non esistere affatto. La determinazione richiede un’analisi più approfondita, ed è qui che il teorema di de l’Hôpital si rivela uno strumento indispensabile.

Enunciato del Teorema (Forma per $\frac{0}{0}$)

Presentiamo ora l’enunciato rigoroso del teorema nella sua forma più classica, quella che tratta la forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

Sia $I$ un intervallo aperto contenente il punto $c \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$. Siano $f, g: I \to \mathbb{R}$ due funzioni tali che:

1. $f$ e $g$ sono derivabili in $I \setminus \{c\}$

2. $g'(x) \neq 0$ per ogni $x \in I \setminus \{c\}$

3. $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = 0$ e $\displaystyle\lim_{x \to c} g(x) = 0$

4. Esiste (finito o infinito) il limite:

   $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$

Allora esiste anche il limite del rapporto delle funzioni originali e vale:

Osservazioni sull’enunciato: analisi dettagliata

È importante sottolineare e comprendere appieno alcuni aspetti cruciali di questo enunciato, poiché una corretta applicazione del teorema richiede una verifica scrupolosa di tutte le ipotesi.

Ipotesi 1: Non è richiesta la derivabilità in $c$

Le funzioni $f$ e $g$ devono essere derivabili solo in un intorno di $c$, eventualmente escluso il punto $c$ stesso. Questo è particolarmente rilevante quando $c$ è un punto di accumulazione ma non appartiene al dominio delle funzioni, oppure quando le funzioni sono continue ma non derivabili proprio nel punto $c$.

Questa condizione è meno restrittiva di quanto possa sembrare a prima vista. Ad esempio, consideriamo il limite:

Sebbene $\sqrt{|x|}$ non sia derivabile in $x = 0$, potremmo comunque tentare di applicare il teorema studiando separatamente i limiti destro e sinistro, dove la funzione è derivabile.

Ipotesi 2: La derivata del denominatore non si annulla

La condizione $g'(x) \neq 0$ per ogni $x \in I \setminus \{c\}$ è essenziale per garantire che il rapporto $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ sia ben definito. Se questa ipotesi non fosse verificata, il teorema non sarebbe applicabile.

Questa ipotesi ha una conseguenza importante: implica che $g$ è strettamente monotona in un intorno di $c$ (escluso eventualmente $c$ stesso). Infatti, per il teorema di Lagrange, se $g'(x) > 0$ (o $g'(x) < 0$) in tutto l’intervallo, allora $g$ è strettamente crescente (o strettamente decrescente). Questo garantisce che per $x \neq c$ in un opportuno intorno di $c$, si ha $g(x) \neq g(c)$, il che è cruciale nell’applicazione del teorema di Cauchy nella dimostrazione.

Un esempio di situazione in cui questa ipotesi fallisce è:

Qui, il denominatore è $g(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$, e la sua derivata è:

che si annulla infinite volte in ogni intorno di $0$ (quando $\cos\left(\frac{1}{x}\right) = 2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$). Il teorema di de l’Hôpital non può essere applicato direttamente in questo caso.

Ipotesi 3: Il limite delle derivate deve esistere

Questa è una condizione necessaria e spesso sottovalutata. Se il limite del rapporto delle derivate non esiste, il teorema non fornisce alcuna informazione sul limite originale, che potrebbe comunque esistere.

È importante enfatizzare che l’esistenza del limite delle derivate è un’ipotesi, non una conclusione. Ci sono casi in cui:

• Il limite $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ esiste
• Il limite $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ non esiste

In questi casi, il teorema semplicemente non è applicabile, e bisogna ricorrere ad altri metodi.

Ipotesi 4: Il punto $c$ può essere finito o infinito

Il teorema vale sia per limiti in punti finiti (sia da destra che da sinistra), sia per limiti all’infinito ($x \to +\infty$ o $x \to -\infty$). Questa generalità rende il teorema estremamente versatile.

Quando $c = +\infty$, l’enunciato va interpretato nel senso che le funzioni sono definite e derivabili su un intervallo della forma $(a, +\infty)$ per qualche $a \in \mathbb{R}$, e le derivate soddisfano $g'(x) \neq 0$ per tutti gli $x$ sufficientemente grandi. Analogamente per $c = -\infty$.

Enunciato del Teorema (Forma per $\frac{\infty}{\infty}$)

Il teorema di de l’Hôpital vale anche per la forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$, con un enunciato leggermente modificato che riflette la natura diversa della forma indeterminata.

Sia $I$ un intervallo aperto contenente il punto $c \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$. Siano $f, g: I \to \mathbb{R}$ due funzioni tali che:

1. $f$ e $g$ sono derivabili in $I \setminus \{c\}$

2. $g'(x) \neq 0$ per ogni $x \in I \setminus \{c\}$

3. $\displaystyle\lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty$

4. Esiste (finito o infinito) il limite:

   $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$

Allora esiste anche il limite:

Differenze rispetto alla forma $\frac{0}{0}$: discussione approfondita

Nella forma $\frac{\infty}{\infty}$ non è necessario richiedere esplicitamente che il limite di $f(x)$ sia infinito: è sufficiente che il limite del denominatore $g(x)$ sia infinito (in valore assoluto). Questa apparente asimmetria merita una spiegazione approfondita.

La ragione di questa differenza risiede nella struttura della dimostrazione del teorema. Nella forma $\frac{0}{0}$, la dimostrazione si basa direttamente sul teorema di Cauchy applicato alle funzioni $f$ e $g$ estese per continuità al punto $c$. Nella forma $\frac{\infty}{\infty}$, invece, la dimostrazione procede tipicamente attraverso un cambiamento di variabile che riconduce il problema alla forma $\frac{0}{0}$.

In particolare, se $c$ è un punto finito e $|g(x)| \to +\infty$, si può considerare il cambiamento di variabile $t = \frac{1}{x-c}$ (o una variante opportuna), che trasforma il limite in $t \to \infty$ in un limite in $t \to 0$. Se invece $c = +\infty$, si può considerare il cambiamento di variabile $t = \frac{1}{x}$, che trasforma il limite per $x \to +\infty$ in un limite per $t \to 0^+$.

Un aspetto interessante è che anche se non richiediamo esplicitamente che $f(x) \to \infty$, questo spesso accade “automaticamente” nei casi di interesse. Infatti, se $f(x)$ tendesse a un limite finito $\ell$ mentre $g(x) \to \infty$, allora avremmo immediatamente:

senza bisogno di applicare alcun teorema. Il teorema diventa veramente utile quando anche il numeratore tende all’infinito, rendendo la forma effettivamente indeterminata.

Tuttavia, l’enunciato è formulato in modo da coprire anche i casi in cui $f(x)$ tende a un limite finito o oscilla senza tendere a nulla, purché le altre ipotesi siano soddisfatte.

Dimostrazione del Teorema (Caso $\frac{0}{0}$, limite finito)

Presentiamo qui una dimostrazione rigorosa e dettagliata del teorema nel caso particolare in cui $c$ è un punto finito, il limite $L$ è finito, e si considera il limite da destra. Gli altri casi (limite da sinistra, limite bilaterale, $c$ infinito, $L$ infinito) si trattano in modo analogo, con opportune modifiche tecniche.

La dimostrazione che segue è costruttiva nel senso che mostra esplicitamente come il comportamento locale delle derivate determini il comportamento del rapporto delle funzioni.

Ipotesi:

• $f$ e $g$ derivabili in $(c, c+\delta)$ per qualche $\delta > 0$
• $g'(x) \neq 0$ in $(c, c+\delta)$
• $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x) = 0$, $\displaystyle\lim_{x \to c^+} g(x) = 0$
• $\displaystyle\lim_{x \to c^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \in \mathbb{R}$

Tesi: $\displaystyle\lim_{x \to c^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$

Dimostrazione:

Passo 1: Estensione per continuità

Estendiamo $f$ e $g$ al punto $c$ ponendo $f(c) = 0$ e $g(c) = 0$. Questa estensione è legittima poiché, per ipotesi, $\lim_{x \to c^+} f(x) = 0$ e $\lim_{x \to c^+} g(x) = 0$. Con questa estensione, $f$ e $g$ risultano continue in $[c, c+\delta]$ (continue da destra in $c$ e continue negli altri punti per ipotesi di derivabilità).

Passo 2: Definizione epsilon-delta

Fissiamo $\varepsilon > 0$ arbitrario. Dobbiamo dimostrare che esiste $\delta_1 > 0$ tale che per ogni $x \in (c, c+\delta_1)$ si ha:

Passo 3: Utilizzo dell’ipotesi sul limite delle derivate

Poiché $\displaystyle\lim_{x \to c^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$, per definizione di limite esiste $\delta_1 > 0$ (che possiamo supporre $\delta_1 < \delta$) tale che per ogni $x \in (c, c+\delta_1)$ si ha:

Passo 4: Applicazione del Teorema di Cauchy

Consideriamo ora un qualsiasi punto $x \in (c, c+\delta_1)$. Le funzioni $f$ e $g$ sono continue in $[c, x]$ (poiché $x < c + \delta_1 < c + \delta$) e derivabili in $(c, x)$. Inoltre, per ogni $\xi \in (c, x) \subset (c, c+\delta)$, abbiamo $g'(\xi) \neq 0$ per ipotesi.

Il Teorema di Cauchy (o teorema del valor medio di Cauchy) afferma che, sotto queste condizioni, esiste un punto $\xi \in (c, x)$ tale che:

Passo 5: Verifica della condizione di applicabilità del Teorema di Cauchy

Dobbiamo verificare che $g(x) \neq g(c)$. Supponiamo per assurdo che esista un punto $x_0 \in (c, c+\delta)$ tale che $g(x_0) = g(c) = 0$. Allora, per il teorema di Rolle applicato a $g$ sull’intervallo $[c, x_0]$, esisterebbe un punto $\eta \in (c, x_0)$ tale che $g'(\eta) = 0$, contraddicendo l’ipotesi che $g'(x) \neq 0$ per ogni $x \in (c, c+\delta)$. Quindi $g(x) \neq g(c)$ per ogni $x \in (c, c+\delta)$, $x \neq c$.

Passo 6: Semplificazione usando l’estensione

Poiché abbiamo posto $f(c) = 0$ e $g(c) = 0$, l’equazione del Teorema di Cauchy diventa:

Passo 7: Stima della distanza dal limite

Ora, poiché $\xi \in (c, x) \subset (c, c+\delta_1)$, dalla stima ottenuta nel Passo 3 abbiamo:

Passo 8: Conclusione

Abbiamo dimostrato che per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta_1 > 0$ tale che per ogni $x \in (c, c+\delta_1)$ si ha:

Questo è precisamente la definizione di:

come volevamo dimostrare. $\square$

Commento alla dimostrazione

La dimostrazione si basa crucialmente sul Teorema di Cauchy, che è una generalizzazione del teorema di Lagrange (o teorema del valor medio). Mentre il teorema di Lagrange afferma che per una funzione derivabile $f$ su un intervallo $[a,b]$ esiste un punto $\xi \in (a,b)$ dove la derivata è uguale al rapporto incrementale:

il Teorema di Cauchy generalizza questo risultato a due funzioni, affermando che esiste un punto dove il rapporto delle derivate è uguale al rapporto dei rapporti incrementali:

Il passaggio chiave nella dimostrazione del teorema di de l’Hôpital è riconoscere che questo punto $\xi$, pur dipendendo da $x$, rimane sempre nell’intervallo $(c, x)$. Quando $x$ si avvicina a $c$, anche $\xi$ è costretto ad avvicinarsi a $c$ (essendo “intrappolato” tra $c$ e $x$). Di conseguenza, il rapporto $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ tende a $L$ esattamente come $\frac{f'(x)}{g'(x)}$, poiché la derivata è continua “abbastanza” vicino a $c$ (nel senso che il limite esiste).

Questo meccanismo è estremamente elegante e mostra come informazioni locali (le derivate in un punto arbitrariamente vicino a $c$) possano essere utilizzate per ottenere informazioni globali (il limite del rapporto).

Applicazioni ripetute del teorema

Una caratteristica notevole e particolarmente utile del teorema di de l’Hôpital è la possibilità di applicarlo iterativamente. Questa proprietà estende enormemente la potenza del teorema, permettendo di trattare forme indeterminate sempre più complesse.

Se dopo aver calcolato il limite di $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ ci troviamo ancora di fronte a una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, e se le ipotesi del teorema sono ancora soddisfatte per le derivate prime (cioè se $f'$ e $g'$ sono derivabili, $g''(x) \neq 0$, e il limite di $\frac{f''(x)}{g''(x)}$ esiste), possiamo applicare nuovamente il teorema al rapporto delle derivate seconde:

Questo processo può essere iterato teoricamente un numero arbitrario di volte, producendo una catena di uguaglianze:

finché:

1. Si ottiene un limite determinato (non più una forma indeterminata)
2. Le ipotesi del teorema continuano a essere verificate a ogni passo

È fondamentale verificare a ogni passo che:

• Le derivate successive esistano
• $g^{(k)}(x) \neq 0$ in un intorno di $c$ (escluso eventualmente $c$)
• Il limite del rapporto delle derivate successive esista

Un errore comune è applicare meccanicamente il teorema senza verificare queste condizioni. Dopo alcune derivazioni, potrebbe accadere che una delle ipotesi fallisca, rendendo invalida l’applicazione successiva.

Esempio di applicazione multipla controllata

Consideriamo il limite:

Verifica iniziale: forma $\frac{0}{0}$.

Prima applicazione:

Ancora $\frac{0}{0}$.

Seconda applicazione:

Ancora $\frac{0}{0}$.

Terza applicazione:

Ancora $\frac{0}{0}$.

Quarta applicazione:

In questo esempio, abbiamo dovuto applicare il teorema quattro volte consecutive prima di ottenere un limite determinato. A ogni passo, tutte le ipotesi erano verificate.

Esempi fondamentali con analisi dettagliata

Presentiamo ora una serie di esempi che illustrano diverse situazioni tipiche e tecniche di applicazione del teorema.

Esempio 1: Limite notevole $\frac{\sin x}{x}$

Calcoliamo il limite fondamentale che appare continuamente in analisi e nelle sue applicazioni:

Analisi preliminare:

Verifichiamo innanzitutto che ci troviamo in una forma indeterminata:

• $\sin 0 = 0$
• $0 = 0$
• Forma $\frac{0}{0}$ ✓

Verifica delle ipotesi:

• $f(x) = \sin x$ è derivabile ovunque, in particolare in un intorno di $0$
• $g(x) = x$ è derivabile ovunque
• $f'(x) = \cos x$, $g'(x) = 1$
• $g'(x) = 1 \neq 0$ in ogni punto ✓
• Dobbiamo verificare che esista $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}$

Applicazione del teorema:

Interpretazione geometrica:

Questo risultato ha una bellissima interpretazione geometrica. Il rapporto $\frac{\sin x}{x}$ rappresenta il rapporto tra il seno di un angolo e l’angolo stesso (misurato in radianti). Quando l’angolo è molto piccolo, il seno dell’angolo è approssimativamente uguale all’angolo stesso, da cui $\frac{\sin x}{x} \approx 1$ per $x$ piccolo.

Esempio 2: Limite con esponenziali

Calcoliamo:

Analisi:

• Numeratore: $e^0 - 1 - 0 = 1 - 1 - 0 = 0$ ✓
• Denominatore: $0^2 = 0$ ✓
• Forma $\frac{0}{0}$ ✓

Prima applicazione del teorema:

Verifichiamo: $e^0 - 1 = 0$ e $2 \cdot 0 = 0$, quindi ancora forma $\frac{0}{0}$.

Seconda applicazione:

Interpretazione:

Questo risultato è legato allo sviluppo di Taylor di $e^x$:

Da cui:

Per $x$ piccolo, il termine dominante è $\frac{x^2}{2}$, quindi:

Il teorema di de l’Hôpital ci fornisce questo risultato senza dover ricorrere allo sviluppo di Taylor.

Esempio 3: Limite all’infinito - Logaritmo vs Potenza

Calcoliamo:

Questo limite è fondamentale perché confronta la crescita del logaritmo con quella delle funzioni potenza.

Analisi:

• $\ln x \to +\infty$ quando $x \to +\infty$
• $x \to +\infty$
• Forma $\frac{\infty}{\infty}$ ✓

Applicazione del teorema:

Generalizzazione:

Più in generale, per ogni $\alpha > 0$, si ha:

Questo si dimostra facilmente applicando il teorema:

Conclusione importante: Il logaritmo cresce più lentamente di qualsiasi potenza positiva di $x$, per quanto piccola sia la potenza.

Esempio 4: Applicazione multipla - Coseno

Calcoliamo:

Prima applicazione (forma $\frac{0}{0}$):

Ancora forma $\frac{0}{0}$.

Seconda applicazione:

Collegamento con lo sviluppo di Taylor:

Da cui:

Per $x$ piccolo:

Esempio 5: Esponenziale vs Potenza

Calcoliamo:

dove $n$ è un intero positivo arbitrario.

Analisi: Forma $\frac{\infty}{\infty}$.

Prima applicazione:

Ancora $\frac{\infty}{\infty}$.

Seconda applicazione:

Continuando, dopo $n$ applicazioni otteniamo:

Conclusione generale: Qualsiasi potenza $x^n$ cresce più lentamente di $e^x$ per $x \to +\infty$.

Esempio 6: Forma $0 \cdot \infty$

Calcoliamo:

Questa è la forma $0 \cdot \infty$ (infatti $x \to 0$ e $\ln x \to -\infty$).

Trasformazione: Riscriviamo come:

Ora abbiamo la forma $\frac{-\infty}{+\infty} = \frac{\infty}{\infty}$.

Applicazione del teorema:

Esempio 7: Forma esponenziale $1^\infty$

Calcoliamo:

Questa è la celebre definizione del numero $e$ di Eulero. È una forma $1^\infty$.

Trasformazione logaritmica:

Poniamo $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$. Allora:

Calcoliamo:

Questa è la forma $\frac{0}{0}$ (infatti $\ln(1 + \frac{1}{x}) \to \ln 1 = 0$).

Applicazione del teorema:

Quindi $\lim_{x \to +\infty} \ln y = 1$, da cui:

Errori comuni e cautele nell’applicazione: casi patologici

Il teorema di de l’Hôpital è uno strumento potente, ma la sua applicazione richiede attenzione e rigore. Esaminiamo alcuni errori comuni e situazioni patologiche.

Errore 1: Applicare il teorema senza verificare le ipotesi

Caso A: Non è una forma indeterminata

Consideriamo:

Qualcuno potrebbe pensare: “Vedo $x$ al numeratore e $\sin x$ al denominatore, applico de l’Hôpital!”

SBAGLIATO! Verifichiamo:

• Numeratore per $x \to 0$: $0^2 + 0 = 0$ ✓
• Denominatore per $x \to 0$: $\sin 0 = 0$ ✓

Quindi è effettivamente forma $\frac{0}{0}$ e possiamo applicare il teorema:

Però consideriamo:

NON è una forma indeterminata! È semplicemente:

Applicare de l’Hôpital sarebbe inutile (anche se porterebbe al risultato corretto).

Caso B: Verificare sempre la forma

• Numeratore: $\sin 0 = 0$
• Denominatore: $0 + 1 = 1$

Forma $\frac{0}{1} = 0$, NON indeterminata! Il limite è semplicemente $0$.

Errore 2: Derivare l’intero rapporto (regola del quoziente)

Questo è forse l’errore più comune e più grave.

Il teorema afferma:

NON:

Esempio dell’errore:

Calcoliamo (CORRETTAMENTE) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.

Metodo SBAGLIATO:

Ma sappiamo che il limite corretto è $1$, non $0$!

Metodo CORRETTO (de l’Hôpital):

Errore 3: Applicare quando il limite delle derivate non esiste

Questo è un errore sottile ma importante.

Esempio:

Se proviamo de l’Hôpital:

Questo limite NON ESISTE perché $\cos x$ oscilla tra $-1$ e $1$ indefinitamente.

Quindi il teorema di de l’Hôpital NON è applicabile.

Tuttavia, il limite originale esiste!

Morale: Se il limite delle derivate non esiste, il teorema non fornisce alcuna informazione. Il limite originale potrebbe esistere (come in questo caso) o non esistere, ma dobbiamo usare altri metodi.

Errore 4: Applicazioni infinite che non convergono

Esempio:

Prima applicazione:

Seconda applicazione:

Terza applicazione:

Le applicazioni successive danno sempre $2$! Sembra che il limite sia $2$.

Ma il limite originale è:

Cosa è successo? Dopo la prima applicazione, non avevamo più una forma indeterminata! Il limite $\lim_{x \to 0^+} 2\sqrt{x} = 0$ è immediato, non serve de l’Hôpital.

Caso patologico: Cicli nelle applicazioni

Consideriamo un esempio artificiale ma istruttivo:

Forma $\frac{0}{0}$.

Prima applicazione:

Ancora $\frac{1}{2}$ (non forma indeterminata, potremmo fermarci).

Ma se continuiamo:

Forma $\frac{0}{0}$ di nuovo! E così via…

Casi particolari e forme indeterminate speciali

Caso 1: Limiti con parametri

Spesso dobbiamo calcolare limiti che dipendono da parametri. Vediamo un esempio.

Problema: Per quali valori di $a \in \mathbb{R}$ esiste finito il limite:

Soluzione:

Forma $\frac{0}{0}$ se e solo se il numeratore tende a zero, cioè sempre.

Prima applicazione:

Ancora $\frac{0}{0}$.

Seconda applicazione:

Perché questo limite sia della forma $\frac{0}{0}$ (e quindi possa esistere finito il limite originale), dobbiamo avere:

Con $a = \frac{1}{2}$, terza applicazione:

Conclusione: Il limite esiste finito solo per $a = \frac{1}{2}$, e in tal caso vale $\frac{1}{6}$.

Caso 2: Forme $\infty - \infty$

Queste richiedono manipolazioni algebriche creative.

Esempio:

Forma $\infty - \infty$.

Trasformazione:

Forma $\frac{0}{0}$.

Prima applicazione:

Forma $\frac{0}{0}$.

Seconda applicazione:

Caso 3: Forme esponenziali $0^0$

Esempio:

Forma $0^0$.

Poniamo $y = x^x$, quindi $\ln y = x \ln x$.

Dobbiamo calcolare:

Forma $0 \cdot (-\infty)$. Riscriviamo:

Forma $\frac{-\infty}{+\infty}$.

Applicando de l’Hôpital:

Quindi:

Caso 4: Confronto tra infiniti

Problema: Determinare l’ordine di grandezza delle funzioni $x^{100}$, $2^x$, $x!$ per $x \to +\infty$.